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浅谈求数列通项公式的方法(曾江丽)
发布时间: 2015年10月28日     人气: 5812 ℃   责任编辑: 何媚

 (此文获台山教育学会30届年会二等奖)        

摘要  数列通项公式是研究和解决数列题型的核心所在,也是高考数学的一大热点,几乎每年必考,所以研究和分析求数列通项公式的方法,是教学中的一项重要的任务。

 

纵观近几年广东省高考数学试题,求数列的通项公式仍然是一大热点,一般分布在数列解答题中的第一或第二问,难度属中档偏下,分值占据为614分左右。虽然分值不高,但是在高考中1分也值千金,况且它是较为容易拿分的题目。下面结合近两年高考数列题进行分析和总结,以为今后教学提供参考。

一、     考题分析

1、(13年广东高考理数第19题)

设数列 的前 , , .

() 的值;

() 求数列 的通项公式;

此题着重考查数列前n项和 定义,前n项和 与通项 的关系,等差数列定义及其通项公式等基本知识,考查了运算求解能力,数据处理能力,同时考察了转化与化归等重要数学思想。

【解析】() 依题意, , ,所以

   () , ,

   两式相减得

   整理得 , ,

   故数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,

所以 ,所以 .

2、(14年广东高考理数第19题)设数列 的前 和为 ,满足 ,且

(1)、求 的值;

(2)、求数列 的通项公式;

13年考查内容一样,均为求数列通项,但思路不太相同。从第一问开始,思路灵活。以往是从数列第一项往后推出其他项,但本题需要反过来先求第三项,然后是第二项和第一项。考查了转化思想,函数方程思想,运算求解能力;第二问用数学归纳法可以做出,着重考察了数据处理能力,推理论证能力等数学能力,算是中档题。

【解析】

1)依题意知 ,又

,又

综上知

(2)由(1)猜想 ,下面用数学归纳法证明.

①当 时,结论显然成立;

②假设当 )时,

,又

,解得

时,结论也成立;

由①②知,

13年数列题得分平均分5.24分,14年得分平均分5.4分,从命题的趋势和得分情况来看,数列题目更趋向于低起点,高立意,是考生熟悉的题型,但是要求解出来必须要有扎实的基础和良好的解题思维能力。但从全省考生的答题情况来看,不甚理想,“考生的主要问题还是表现在概念不清、运算能力薄弱、思维不够灵活。在简单的数字运算、方程或方程组求解、代数式的恒等变形等计算过程中出错是普遍存在的现象。很多考生死记公式硬搬技巧而无法解决,反映出学生思维的灵活性不够。对于同样的知识点,只要难点稍有变化就没有办法了。”在14年高考评卷时,广东省评卷组长、华南师范大学数学科学学院院长丁时进教授给出了这样的点评。

二、     教学反思

 丁院长的话不能不引起我们教学者的深思,回顾平时的教学,师生都容易陷入题海战术,倾向于你讲我听,死记硬背,机械性的模仿训练,好像学生是懂了,但实际上学生自己都没有经过理解消化吸收,没有理解数学解题的本质,又怎能在高考中一蹴而就呢。

所以如何改变这种情况是我们分析研究的目标,“近年来高考数学的命题趋势反复告诉我们,中学数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能训练,注重培养学生分析问题和解决问题的能力。要教会学生如何思考数学问题,讲清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律,要交给他们一把钥匙,那就是数学的思想。”丁院长的话给予我们启示,实行有效的教学,首先要让学生系统掌握各种求数列通项的基础知识、基本技能,为综合运用打下坚实的基础;其次在熟练掌握双基的同时,还要发挥数学思想作为联系知识与能力的桥梁作用。

三、教学总结

下面就以数列求通项的几种解法为例进行分析。

   类型1、公式法

对于特殊的数列,如等差、等比数列,直接利用通项公式法。这就要求我们理解等差等比数列的定义并能熟记理解他们的通项公式,这也是下面要介绍的几种类型题的解题基础。

例题1、(14年广州一模文19)已知等差数列 首项为10,公差为2,数列 满足 ,(1)求

类型2、累加法、累乘法

   1)递推公式形如 或者可以化简为此种形式的,用累加法,其中 可以是关于n的一次函数或者指数函数。

2、已知数列 中, ,求数列 的通项公式。

分析:

   2)递推公式形如 或者可以化简为此种形式的,用累乘法,其中 可以是关于n的指数函数或其他函数。

3、(14年佛山二模文20)已知数列 n项和为 ,且满足

数列 满足 ,(1)求

值得注意的是,有部分学生因对等差,等比数列定义不理解,误认为 是公差为2等差数列; 是公比为 的等比数列,这都是对定义不熟悉所造成的,应尽量避免。

类型3、归纳法与数学归纳法

  归纳法主要用于由特殊到一般,属于猜想,结论不一定正确,而数学归纳法可以验证猜想的结论正确与否。一般来说这种方法适用范围比较广,只要能猜想出 的一般形式,都可以用数学归纳法证明,如上文举例的14年高考理数19题和下文举例的11年高考理数20题。

类型4、利用

 如例3中求 ,正是需要此法。

解:因为

类型5、构造法

 构造法是通过对给出的递推公式进行变形,使其转化为等差或等比数列,进而求通项。其又包含以下4种类型。

1、         递推公式形如 ,其中pq为非零常数。

p=1,则

,则将其化为 的形式;然后去括号,与原式对比系数,求出 值;接着用等比数列通项公式求出

4、数列 中,已知 ,求数列 通项公式

对于此种题型或者有些学生不明白为什么要将递推公式变形为 ,可以通过以下例子进行说明:

数列 既不是等差数列也不是等比数列,但是各项都加了1后,变为

数列 它是一个等比数列,针对这种数列特点,所以我们将其递推公式化为 形式,以构造成等比数列,方便求出数列通项 。此种题型包含了转化以化归的数学思想,有点难度,但不难理解,下面要介绍3种题型都是以它为基础的,所以必需理解和掌握其数学思想和方法。

2、        递推公式形如 ,其中p为非零常数, 为关于n的函数。

下面以 为例进行分析,若 为其他函数(如二次函数),方法也类似,如13年广东高考理数。

(1)              p=q,则等式两边同时除以 ,将其化为 的形式,然后用等差数列通项公式求解(注意观察下标n和指数n的关系)

(2)              则等式两边同时除以 ,将其化为 的形式,然后用上面讲的构造法第1种类型求解。

5、数列 中,已知 ,求数列 通项公式。

解:因为  

是公差为1的等差数列,首项为  

6、数列 中,已知 ,求数列 通项公式。

解:因为   ,则

  是公比为 的等比数列,首项为    

 

3、         递推公式形如 ,其中km为非零常数。先观察递推公式特点,等式右边是分式形式,分子是单项式,分母是多项式,可以考虑对等式两边同时取倒数,变为 ,然后转化为类型1 求解。

7、数列 中,已知 ,求数列 通项公式。

  解:对等式 两边同时取倒数,得 是公差为 的等差数列,首项是

又如(11年广东理数20题)设b>0,数列 满足 .

1)求数列 的通项公式;

解(1) ,得

,则

法一:(ⅰ)当 时, 是以 为首项, 为公差的等差数列,

,∴

(ⅱ)当 时,设 ,则

,得

是等比数列, ,又

法二:(ⅰ)当 时, 是以 为首项, 为公差的等差数列,

,∴

(ⅱ)当 时, ,猜想 ,下面用数学归纳法证明:

①当 时,猜想显然成立;

②假设当 时, ,则

所以当 时,猜想成立,

由①②知,

上面所归纳的5大种求数列通项的方法,无论是哪一种,都要求我们师生理解其知识发生的过程和结果,根据具体的题型分析问题,有时需要用到其中一种或两种方法,有时候需要对其进行分类讨论,有时候需要对其进行灵活变形,但总的来说都是上面基础训练题的具体体现,所以需要深入理解每一种题型的解题本质,切忌生搬硬造,无中生有,混淆知识点。
原文:
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出处/作者: / 曾江丽    评价: 3    大小: 109650 字节 字体:
 
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