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论世界杯与数学(潘积来)
发布时间: 2015年10月28日     人气: 5852 ℃   责任编辑: hm
 (此文获台山教育学会30届年会二等奖)
摘要:第20届世界杯在巴西正如火如荼地举行着,各国的人民享受着比赛所带来的快乐与泪水。本文从世界杯的历史、足球的构造以及射门角度三个方面论述世界杯与数学、足球与数学的联系,让读者在情感上感受世界杯的精彩比赛之余,也能从中以数学的角度感爱世界杯之美、足球之美。
关键词:世界杯  足球构造  射门角度
本文分为三个版块:一是世界杯历史中的数学;二是足球构造中的数学;三是足球射门中的数学。
一、世界杯历史中的数学
  中国唐代就出现“足球”的竞技比赛,当时叫“蹴鞠”。现代足球起源于英国,虽后风靡世界。由于足球运发动发展,国际比赛也随之出现。1896年,第一界现代奥运会在希腊举行时,足球就列为正式比赛项目,丹麦以9:0大胜希腊,成为奥运会第一个足球冠军。因为奥运会不允许职业运动员参加,到了1928年(第九界奥运会)足球比赛已无法持续。
    1928年奥运会结束后,国际足联召开代表会议,一致通过决议,在奧运会的中间年度比赛,并且决定每隔四年举办一次世界杯。这对于世界足球运动的进一步发展和提高起到了积极的推动作用。1930年万众瞩目的第一届世界杯在乌拉圭举行,在法国举办完第三届(1938年)比赛之后,由于第二次世界大战爆发,世界杯比赛中断了12年。战争一结束,巴西就在1950年举办了第四届世界杯赛。
历届世界杯举办地点(前19届〉:欧洲地区 10次,南美地区 4次,中北美地区 3次,非洲地区1次,亚州地区1次。历代世界杯主办国(16个国家):乌拉圭、意大利(2届)、法国(2届)、巴西、瑞士、瑞典、智利、 英国、墨西哥(2届)、西德、阿根廷、西班牙、美国、韩日、德国、南非。2014年6月13日至7月13日 第20届世界杯将在巴西举办,这也是巴西自1950年第四届世界杯之后再次举办世界杯。
世界杯赛的奖杯是1928年,国际足联为得胜者特制的奖品,是由巴黎著名首饰技师弗列尔铸造的。其模特是希腊传说中的胜利女神尼凯,她身着古罗马束腰长袍,双臂伸直,手中捧一只大杯。雕像由纯金铸成,重1800克,高30厘米,立在大理石底座上。此杯为流动奖品,谁得了冠军,可把金杯保存4年,到下一界杯赛前交还给国际足联,以便发给新的世界冠军。此外有一个附加规定是:谁连续三次获得世界冠军,谁将永远得到此杯。
  1970年,第九界世界杯赛时,乌拉圭、意大利、巴西都已获得过两次冠军。因此都有永远占有次杯的机会,结果是巴西队捷足先得,占有了此杯。为此,国际足联还得准备一个新奖杯,以发给下界冠军。1971年5月,国际足联举行新杯审议会,经过对53种方案评议后,决定采用意大利人加扎尼亚的设计方案---两个力士双手高擎地球的设计方案。这个造形象征着体育的威力和规模。新杯定名为”国际足联世界杯“。这座奖杯高36厘米(14英寸),重4,970克(11英鎊),该杯高36厘米,当时价值2万美元。1974年第十界世界杯赛,西德队作为冠军第一次领取了新杯。这回,国际足联规定新杯为流动奖品,不论哪个队获得多少冠军,也不能占有此杯了。
二、足球构造中的数学
传统的英式足球是由黑、白两色共32块皮革,采用蜂巢式缝制方法缝制而成。读到这,相信会有不少的读者的会问:为什么是32块皮革?为此,笔者先给大家解读一下传统足球的构造。
足球虽然是球体但实际上是由黑、白两色皮革勃合或缝制成的多面体加工而成的。其中黑色皮为正五边形,白色皮为正六边形,表面之间具有下列特征:①黑色皮周围都是白色皮;②每两个相邻的多边形恰好有一条公共边;③每个顶点都是三块皮的公共点,且为一黑二白。
依中学数学教材,简单多面体的顶点数 、棱数 及面数 的关系为: (欧拉定理)。假设黑、白两色各有 块,则面数 ;由于每条棱均为两个面的交线,所以棱数 ;每个顶点均为三个面的公共点,所以顶点数 。由欧拉定理,有 ①
又因为每块白色皮对应的六边形中有三条边与其他白色皮相连,剩余三条边与黑色皮相连,故 ②
解①②式可得 ,即黑色皮有12块,白色皮有20块。
12块正五边形和20块正六边形拼成一个完美无缺的“三十二面体”球面,象征着参加世界杯决赛的32支队伍从五大洲、四大洋汇聚在一起,共同交流文化、切磋球技,展示风采,并以此促进足球运动的不断发展。
近年来,足球制造商一直在对足球的制作工艺进行改进,过去一个足球由32片外皮手工缝合而成,而“团队之星”(Teamgeist)和“普天同庆”(Jabulani)则采用的是热粘合技术,其中“团队之星”只用了14块外皮,而“普天同庆”的外皮更是减少为8块。首先,外皮数量的减少意味着足球上的接缝总长度变短,据统计,由32片外皮拼成的足球共有大约405厘米的接缝,而“团队之星”只有345厘米,“普天同庆”更是减为203厘米。其次,相比手工缝制技术,热粘合技术在接缝处更加平滑,激光扫描显示,手工缝制的足球接缝深度产不多是“普天同庆”的两倍。考虑到这两方面因素,“普天同庆”的外表面显得更加光滑,这影响了足球的风阻系数,足球在飞行时的自转速度也变得更低,这才让球员们发出了“和沙滩球一样”的指责。
而本届世界杯用球“桑巴荣耀”(Brazuca)的外皮数量更是减少为前所未有的6块,这让人们担心足球会变得更加难以适应。为了解决这个问题,本届巴西世界杯的官方用球根据空气动力学原理采用了一些新做法。首先是将每块外皮的形状改为十字形,这样就增加了接缝的总长度,达到327厘米,远超“普天同庆”。第二则是在热粘合技术时特别加深了接缝深度,“桑巴荣耀”的接缝深度达到1.56毫米,是“普天同庆”的3倍,甚至比32块外皮拼接而成的足球接缝还要深50%。在采取了这两项措施后,“桑巴荣耀”取得很不错的效果。据官方测试的数据,“桑巴荣耀”的风阻系数和32块外皮拼接而成的足球相差不大,感觉更像是传统的32面黑白足球,而相比之下2010年世界杯用球“普天同庆(Jabulani)”的风阻系数曲线则有明显区别。(详细数据见下图一)
 
 
三、足球射门中的数学
已知标准足球门高2.44米,宽7.32米,总面积为17.86平方米,而球的直径只有0.22米。影响球员进球成功率的因素有很多,其中最重要的是球员的技术水平和射门的角度。我们认为短期内球员的基本素质都一样,或者差距不大,因此,我们下面主要对球员射门的角度进行分析。
射门的角度是指从射点引向球门两柱及横木连线所夹角的立体角。我们把射点与两立柱连线所夹的角称为最大水平角,射门时超越这个角度范围,球体从两立柱的外侧飞出界。另一个是仰角,它并非是射点与横木所连直线的夹角,球是以抛物线轨迹在空中运行的,射出的球能从横木下沿进入球门的抛射角,为最大仰角。其值大于射点至横木所连直线的夹角。
                         
图二:最大水平角α          图三:最大仰角β
最大水平角的计算比较简单,用三角函数即可求得: (S为射点到球门的距离)。根据公式可算出不同射门点所允许的最大水平角。(数值见表四)
表四   最大水平角
射门距离S(米)
最大水平角α(度)
11
15
20
25
30
36.8
27.4
20.7
16.6
14
 
仰角是抛体运动的斜射角,它是由射仰离球门的距离以及球速所决定的。在不计空气阻力的情况下,最大点角可能有二个值,即所谓高抛物线与低抛物线,一般取低抛物线射门。计算最大仰角公式为:
(其中V为球速,g为重力加速度,H为球门高度,S是射门点离球门的距离)。(数值见表五)
表五  最大仰角  当射门速度V=20米/秒(一般足球运动员的射门速度)时
射门距离S(米)
最大仰角β(度)
11
15
20
25
20.6
20.4
22.2
25.3
 
从以上表四、表五来看,水平角是随着发射点的距离增加而减少;而仰角的情况有些不同,随着发点射点离球门越远,角度一般趋于增大。在离球门25米处,若用20米/秒的速度射门,允许最大水平角为16.6度,最大仰角也只有25.3度。要保证在这样小的角度范围内射门,并非一件容易的事,特别是在世界杯比赛这样激烈争夺的门前,既有对方球员的阻截,又有守门员的扑救,所以射门的空隙更小。可见,把握正确的射门角度是取得破门的关键。
对于足球,我们充满着热爱,一直享受着它带来的“美”,也希望人们从中能得到一些启示:足球不仅仅是一项运动,更是一种生活方式。它能让我们学到什么是团队精神,增强自信心,这对于培养青少年的人格起到重要的推到作用。孩子是成功的关键,也许在不久的将来,可以看到中国足球再次出现在世界杯的决赛圈上,问鼎世界最高舞台。
 
 
 
 
参考文献:
[1] 中国网.《世界杯的由来》,2002年.
[2] 孙立群,陈耀忠.足球构造中的数学问题,《中小学教材教学》2002年第30期.
[3]  Tino.《2014巴西世界杯》,2014年6月
[4] 张凤扬,戴玉生.提高足球射门命中率的几个问题.
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出处/作者: / 潘积来    评价: 3    大小: 5780 字节 字体:
 
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